Rätselthread

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Denderan Marajain
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Denderan Marajain »

Gorbalad hat geschrieben:
Denderan Marajain hat geschrieben:Man nehme eine Primzahl größer als 5, multipliziere sie mit sich selbst, das Ergebnis auch, und ziehe dann 1 davon ab. Warum ist das Endergebnis immer ohne Rest durch 240 teilbar?
Muss man das Ergebnis von Primzahl mal Primzahl mit sich selbst oder mit der Primzahl multiplizieren?

Geht es also darum, zu beweisen, dass (x hoch 3) -1 oder (x hoch 4) -1 immer durch 240 teilbar sein soll?
Laut Aufgabe soll eine Primzahl p viermal mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis um 1 vermindert werden

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Denderan Marajain
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Denderan Marajain »

Horasischer Vagant hat geschrieben:
Denderan Marajain hat geschrieben:Nein AHS aber ich habe ein kleines Faible für Mathematik und für solche "Probleme" im Besonderen :lol:
Nach Deinem Arbeitgeber zu urteilen - beschäftigst Du Dich auch beruflich von Zeit zu Zeit mit Mathematik... :)
Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderes

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Denderan Marajain
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Denderan Marajain »

Wenn jemand verzweifelt (kann ich nachvollziehen habe es auch erst im 3 Anlauf geschafft) habe ich hier die Lösung


Meisterinformationen zu: "Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 240": Z = p4 – 1 = (p2 – 1) · (p2 + 1)

Die dritte binomische Formeln kann dann nochmals auf den ersten der beiden Faktoren angewendet werden, so dass sich der folgende aus drei Faktoren bestehende Ausdruck für das Ergebnis ergibt:

Z = (p – 1) · (p + 1) · (p2 + 1)

Da nur Primzahlen genommen werden dürfen, die größer als 5 sind, muss p immer ungerade sein, da die einzige gerade Primzahl die 2 ist.

Deshalb muss der erste Faktor (p – 1) gerade sein. Z ist also immer ohne Rest durch 2 teilbar.

Ebenso muss auch der zweite Faktor (p + 1) gerade sein. Deshalb ist Z sogar ohne Rest durch 4 teilbar.

Die Faktoren (p – 1) und (p + 1) sind benachbarte gerade Zahlen. Da jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist, muss einer der beiden Faktoren durch 4, der andere durch 2 teilbar sein. Das Ergebnis Z ist also sogar ohne Rest durch 8 teilbar.

Die Zahlen (p – 1), p und (p + 1) folgen direkt aufeinander. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar. Entsprechend der Aufgabe muss die Primzahl p größer als 5 sein und kann deshalb nicht durch 3 teilbar sein. Dann muss einer der beiden verbleibenden Ausdrücke (p – 1) oder (p + 1) durch 3 teilbar sein. Da im Ergebnis Z diese beiden Ausdrücke als Faktoren auftauchen, muss Z folglich auch durch 3 und deshalb sogar ohne Rest durch 24 teilbar sein.

Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Deshalb muss der dritte Faktor (p2 + 1) immer gerade sein. Z ist also nochmals durch 2 und damit ohne Rest durch 48 teilbar.

Primzahlen, die größer als 5 sind, können als Endziffer nur eine 1, 3, 7 oder 9 haben, weil sie sonst entweder gerade wären oder durch 5 teilbar.

Ist die Endziffer der Primzahl p eine 1, dann ist der erste Faktor (p – 1) durch 5 teilbar.

Ist die Endziffer der Primzahl p eine 3 oder eine 7, dann hat das Quadrat der Primzahl als Endziffer eine 9 und der dritte Faktor (p2 + 1) ist durch 5 teilbar.

Ist die Endziffer der Primzahl p eine 9, dann ist der zweite Faktor (p + 1) durch 5 teilbar.

Einer der drei Faktoren von Z ist also immer durch 5 teilbar.

Folglich ist das Endergebnis Z auch immer durch 5 und damit insgesamt ohne Rest durch 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 240 teilbar.

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Horasischer Vagant
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Horasischer Vagant »

Denderan Marajain hat geschrieben:Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderes
Das stimmt - Versicherungsmathematik ist doch ein wenig anders! :wink:
Aber immerhin auch dort werden dieselben Zahlen verwendet! :censored: :lol:
Besuche mit Deinem Helden das Shaya´al´Laila in Zorgan (offenes RP)

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Skyvaheri
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Skyvaheri »

@Primzahlenrätsel: Bin ich froh, dass ich mich damit nicht abgemüht habe... ;)

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Alle Infos zu Sky's DSA-Runde gibt es hier:

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Denderan Marajain
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Denderan Marajain »

Horasischer Vagant hat geschrieben:
Denderan Marajain hat geschrieben:Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderes
Das stimmt - Versicherungsmathematik ist doch ein wenig anders! :wink:
Aber immerhin auch dort werden dieselben Zahlen verwendet! :censored: :lol:
Ich habe mit klassischer Versicherungsmathematik nix zu tun
Ich bin auf der Riskmanagement Seite.

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Salix Lowanger
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Salix Lowanger »

@Primzahlenrätsel: Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen!
Das ist ne kreative Beweisführung -- ich bin Ingenieur, kein Mathematiker. :wink:
I can fight an opponent, but I cannot fight my biological clock.
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Denderan Marajain
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Re: Wie geht's Euch grad 2?

Ungelesener Beitrag von Denderan Marajain »

Salix Lowanger hat geschrieben:@Primzahlenrätsel: Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen!
Das ist ne kreative Beweisführung -- ich bin Ingenieur, kein Mathematiker. :wink:
Die Beweisführung ist aber nicht von mir. So schön könnte ich das nie :P

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