Laut Aufgabe soll eine Primzahl p viermal mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis um 1 vermindert werdenGorbalad hat geschrieben:Muss man das Ergebnis von Primzahl mal Primzahl mit sich selbst oder mit der Primzahl multiplizieren?Denderan Marajain hat geschrieben:Man nehme eine Primzahl größer als 5, multipliziere sie mit sich selbst, das Ergebnis auch, und ziehe dann 1 davon ab. Warum ist das Endergebnis immer ohne Rest durch 240 teilbar?
Geht es also darum, zu beweisen, dass (x hoch 3) -1 oder (x hoch 4) -1 immer durch 240 teilbar sein soll?
Rätselthread
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderesHorasischer Vagant hat geschrieben:Nach Deinem Arbeitgeber zu urteilen - beschäftigst Du Dich auch beruflich von Zeit zu Zeit mit Mathematik...Denderan Marajain hat geschrieben:Nein AHS aber ich habe ein kleines Faible für Mathematik und für solche "Probleme" im Besonderen
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
Wenn jemand verzweifelt (kann ich nachvollziehen habe es auch erst im 3 Anlauf geschafft) habe ich hier die Lösung
Meisterinformationen zu: "Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 240": Z = p4 – 1 = (p2 – 1) · (p2 + 1)
Die dritte binomische Formeln kann dann nochmals auf den ersten der beiden Faktoren angewendet werden, so dass sich der folgende aus drei Faktoren bestehende Ausdruck für das Ergebnis ergibt:
Z = (p – 1) · (p + 1) · (p2 + 1)
Da nur Primzahlen genommen werden dürfen, die größer als 5 sind, muss p immer ungerade sein, da die einzige gerade Primzahl die 2 ist.
Deshalb muss der erste Faktor (p – 1) gerade sein. Z ist also immer ohne Rest durch 2 teilbar.
Ebenso muss auch der zweite Faktor (p + 1) gerade sein. Deshalb ist Z sogar ohne Rest durch 4 teilbar.
Die Faktoren (p – 1) und (p + 1) sind benachbarte gerade Zahlen. Da jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist, muss einer der beiden Faktoren durch 4, der andere durch 2 teilbar sein. Das Ergebnis Z ist also sogar ohne Rest durch 8 teilbar.
Die Zahlen (p – 1), p und (p + 1) folgen direkt aufeinander. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar. Entsprechend der Aufgabe muss die Primzahl p größer als 5 sein und kann deshalb nicht durch 3 teilbar sein. Dann muss einer der beiden verbleibenden Ausdrücke (p – 1) oder (p + 1) durch 3 teilbar sein. Da im Ergebnis Z diese beiden Ausdrücke als Faktoren auftauchen, muss Z folglich auch durch 3 und deshalb sogar ohne Rest durch 24 teilbar sein.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Deshalb muss der dritte Faktor (p2 + 1) immer gerade sein. Z ist also nochmals durch 2 und damit ohne Rest durch 48 teilbar.
Primzahlen, die größer als 5 sind, können als Endziffer nur eine 1, 3, 7 oder 9 haben, weil sie sonst entweder gerade wären oder durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 1, dann ist der erste Faktor (p – 1) durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 3 oder eine 7, dann hat das Quadrat der Primzahl als Endziffer eine 9 und der dritte Faktor (p2 + 1) ist durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 9, dann ist der zweite Faktor (p + 1) durch 5 teilbar.
Einer der drei Faktoren von Z ist also immer durch 5 teilbar.
Folglich ist das Endergebnis Z auch immer durch 5 und damit insgesamt ohne Rest durch 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 240 teilbar.
Meisterinformationen zu: "Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 240": Z = p4 – 1 = (p2 – 1) · (p2 + 1)
Die dritte binomische Formeln kann dann nochmals auf den ersten der beiden Faktoren angewendet werden, so dass sich der folgende aus drei Faktoren bestehende Ausdruck für das Ergebnis ergibt:
Z = (p – 1) · (p + 1) · (p2 + 1)
Da nur Primzahlen genommen werden dürfen, die größer als 5 sind, muss p immer ungerade sein, da die einzige gerade Primzahl die 2 ist.
Deshalb muss der erste Faktor (p – 1) gerade sein. Z ist also immer ohne Rest durch 2 teilbar.
Ebenso muss auch der zweite Faktor (p + 1) gerade sein. Deshalb ist Z sogar ohne Rest durch 4 teilbar.
Die Faktoren (p – 1) und (p + 1) sind benachbarte gerade Zahlen. Da jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist, muss einer der beiden Faktoren durch 4, der andere durch 2 teilbar sein. Das Ergebnis Z ist also sogar ohne Rest durch 8 teilbar.
Die Zahlen (p – 1), p und (p + 1) folgen direkt aufeinander. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar. Entsprechend der Aufgabe muss die Primzahl p größer als 5 sein und kann deshalb nicht durch 3 teilbar sein. Dann muss einer der beiden verbleibenden Ausdrücke (p – 1) oder (p + 1) durch 3 teilbar sein. Da im Ergebnis Z diese beiden Ausdrücke als Faktoren auftauchen, muss Z folglich auch durch 3 und deshalb sogar ohne Rest durch 24 teilbar sein.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Deshalb muss der dritte Faktor (p2 + 1) immer gerade sein. Z ist also nochmals durch 2 und damit ohne Rest durch 48 teilbar.
Primzahlen, die größer als 5 sind, können als Endziffer nur eine 1, 3, 7 oder 9 haben, weil sie sonst entweder gerade wären oder durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 1, dann ist der erste Faktor (p – 1) durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 3 oder eine 7, dann hat das Quadrat der Primzahl als Endziffer eine 9 und der dritte Faktor (p2 + 1) ist durch 5 teilbar.
Ist die Endziffer der Primzahl p eine 9, dann ist der zweite Faktor (p + 1) durch 5 teilbar.
Einer der drei Faktoren von Z ist also immer durch 5 teilbar.
Folglich ist das Endergebnis Z auch immer durch 5 und damit insgesamt ohne Rest durch 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 240 teilbar.
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
Das stimmt - Versicherungsmathematik ist doch ein wenig anders!Denderan Marajain hat geschrieben:Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderes
Aber immerhin auch dort werden dieselben Zahlen verwendet!
Besuche mit Deinem Helden das Shaya´al´Laila in Zorgan (offenes RP)
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
@Primzahlenrätsel: Bin ich froh, dass ich mich damit nicht abgemüht habe...
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
Ich habe mit klassischer Versicherungsmathematik nix zu tunHorasischer Vagant hat geschrieben:Das stimmt - Versicherungsmathematik ist doch ein wenig anders!Denderan Marajain hat geschrieben:Das lässt sich dahingehend nicht vermeiden allerdings ist meine berufliche Mathematik schon etwas anderes
Aber immerhin auch dort werden dieselben Zahlen verwendet!
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
@Primzahlenrätsel: Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen!
Das ist ne kreative Beweisführung -- ich bin Ingenieur, kein Mathematiker.
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Re: Wie geht's Euch grad 2?
Die Beweisführung ist aber nicht von mir. So schön könnte ich das nieSalix Lowanger hat geschrieben:@Primzahlenrätsel: Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen!
Das ist ne kreative Beweisführung -- ich bin Ingenieur, kein Mathematiker.